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Maths_1B_1_Bases_d'Algebre Cheat Sheet by

Résumé du cours de maths 1B partie base d'algèbre.
maths1b     alg-bre     algebre

Les interv­alles

XƐ[a,b]
a <= x <= b
intervalle fermé
XƐ]a,b[
a < x < b
intervalle ouvert
XƐ[a,b[
a <= x < b
intervalle ouvert à droite

Addition d'inég­alités

-5 < 6 | + 2
-3 < 8
 
Le signe de l'inég­alité n'est pas changé.

Multip­lic­ation d'inég­alités

-5 < 6 | * 2
10 > -12
 
Si on multiplie par un nombre négatif on inverse le sens de l'inég­alite

Mise au carré d'inég­alités

-5 < 6 | ^2
25 < 36
-6 < 5 | ^2
36 > 25
 
Il y a inversion de signe si l'inég­alité de départ est fausse en valeur absolue.

Racine carré d'inéq­uation

36 > 25 | √
6 > 5
 
Le signe de l'inég­alité n'est pas changé. On prend seulement les nombres positifs.

Inverse de l'inéq­uation

5 < 6 | 1/
1/5 > 1/6
-5 < 6 | 1/
-1/5 < 1/6
 
Le signe de l'inég­alité est changé quand les 2 membres sont de mêmes signes.

valeur­s_a­bsolues

| a + b |
si a + b > 0
a + b
| a + b |
si a + b = 0
0
| a + b |
si a + b < 0
- (a + b) -> -a -b

Identités remarq­uables

(a - b)2
a2 - 2ab + b2
(a - b)2
a3 -3a2b + 3ab2 - b3
a2-b2
(a + b) (a - b)
a3 - b3
(a - b) (a2 + ab + b2)
Pour n impair :
an + bn
(a + b) (...)
an + bn
(a - b) (...)
Pour n pair :
an + bn
Ne peut être factorisé
an - bn
(a + b) (a - b) (...)
(...)
S'obtient par division polyno­miale

Factor­isation

Mise en évidence :
a2 + 2a
a(2 + a)
Reconn­ais­sance d'identité remarq­uable :
x2 - 9
(x + 3) (x - 3)
Regrou­pement :
aX2 + bX + c
a( X2 + bX/a + c/a)
a( X2 + 2b­X/­2a + c/a)
a ((X + b/2a­2­-b­2/­4a­2+c/a)
a((X+ b/2a)2 - (b2+­4ac)/4a
x1 = (-b + √b2 - 4ac )/ 2a
x2 = (-b - √b2 - 4ac )/ 2a
 

Fonctions quadra­tiques :

f1(x) = x2
Donne une fonction de type U
f2(x) = (x - q)2
Donne une fonction de type U avec un décalage q (en x)
f3(x) = p(x-q)2
Plus p est grand plus la fonction est serré Si p est négatif la fonction part contre le bas.
f4(x) = p (x-q)2 + r
Ajouter r décale la fonciton vertic­alement (axe y)
y = a ( x - b)2+ o
Le point S est (b; o)
S est un maximum si a < 0
S est un minimum si a > 0

Fonctions quadra­tiques (les racines)

Les racines sont les inters­ections de la fonction avec l'axe x
x1 = 0 & x2 = 0
p(x-q)2 + r = 0
x-q = +ou- √-r/p
x1 = √(-r/p) + q
x2 = -√(-r/p) + q

Forme Polyno­miale en canonique

Pour trouver une racine il faut la forme canonique:
f(x) = ax2 + bx + c
a[x2­+2(­b/2­a)*­x+(­b/2­a)­2-­(b/­2a)­2­+c/a]
a(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a
On veut p(x - q)2 + r
r = - (b2-­4ac)/4a
q = -b/2a
p = a
On a donc : a (x - (-b/2a­))2 + ((b2­-4a­c)/4a)

Factor­isation de fonction

p(x) = a(X - X1) (X - X2)
a(X2-X X1 - X X2 + X1 * X2)
aX2 - a(X1 + X2) X + a X1 X2
On retrouve une équation du second degré.
X1 et X2 sont les racines du polynôme :
P(X1) = a( X1 - X1) ( X1 - X2) = 0
On sait que X1 - X1 = 0
P(X2) = a( X2 - X1) ( X2 - X2) = 0
On sait que X2 - X2 = 0
Il est facile et toujours possible de passer de la forme factorisé à la forme polynô­miale.
S'il n'y a pas de racines réeles (inter­section avec l'axe x) on ne pourra pas mettre le polynôme sous forme factorisé c'est donc un pôlynome irrédu­ctible!

Factor­isation de fonction degré n

Pour passer de la forme factorisée à la forme pôlyno­miale on procède comme une fonction de degré 2
Pour l'opér­ation inverse il faut utiliser le Théorème Fondam­ental de l'algébre.
Tout polynôme Pn(x) de degré n peut s'écrire comme le produit de k polynômes du premier degré et m polynômes irrédu­ctibles du seconde degré.
k correspond au nombre de racines réelles de Pn(x)
n = k + 2m
m = (n - k)/2

Décomp­osition en fractions simples

f(x) = N(x) / D(x)
Si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénomi­nateur on effectue une division polynô­miale et on pourra factoriser le reste.
E1. Si nécessaire effectuer la division euclid­ienne et prendre uniq­uem­ent le reste pour les prochaines étapes :
E2. Factoriser Dn(x) en produit soit de facteur linéaires (px + q)n soit/et en facteurs quadra­tiques irrédu­ctibles (ax2 + bx + c)m
E3. Pour chaque facteur (px + q)n écrire la somme de fractions : A1/(px+q) + A2/(px­+q)2 + An/(px­+q)n
E4. Pour chaque facteur (ax2 +bx +c)m écrire la somme de fractions simples : ((B1*x + c1)/(a­x+b­x+c)) + ((B2x + c2)/(a­x+b­x+c­))+­((Bmx + cm)/(a­x+b­x+c­)m)
E5. Calculer les constantes Ai, Bi, Cien posant que la fraction ration­nelle Nk(x) / Dn(x) doit être IDEN­TIQUE à sa décomp­osition en fractions simples.
La décomp­osition en fractions simples concerne les fonctions ration­elles irrédu­cti­bles.

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