Operazioni tra Vettori
Somma e Differenza tra vettori |
u+v = (u1+v1, u2+v2, u3+v3)
u-v = (u1-v1, u2-v2, u3-v3) |
Proprietà della Somma |
• Commutativa: u+v = v+u
• Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
• Elemento neutro: v + 0 = v
• Opposto: v t.c v + (- v) = 0 |
Prodotto di un Vettore per uno Scalare |
u · a = ( u1 · a, u2 · a, u3 · a)
il risultato è un altro vettore.
Se a = 0 o v = 0 (vettore nullo) , allora a · v è il vettore nullo.
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Proprietà del prodotto di un Vettore per uno Scalare |
(1) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori:
a·(u + v ) = a·u + a·v (con u e v vettori, a scalare).
(2) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari:
(a + b)·v = a·v + b·v (con v vettore, a e b scalari).
(3) Associativa: a · (b · v) = (a · b) · v (con v vettore, a e b scalari).
(4) Esistenza dell'elemento neutro: 1 · v = v per ogni vettore .
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Prodotto Vettoriale |
1) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore! Occhio a non fare confusione con il prodotto scalare, che è per l'appunto uno scalare in termini algebrici
2) Il prodotto vettoriale tra due vettori è un vettore ortogonale ad entrambi i vettori.
3) Il prodotto vettoriale è un'operazione definita solamente con vettori di R3.
Non è possibile cioè calcolarlo con vettori in Rn con n≠3 né in qualsiasi altro spazio vettoriale.
4) Il modulo del prodotto vettoriale tra v,w è dato da
|v X w| = |v| · |w| · sin(0)
la direzione è perpendicolare al piano individuato da v,w.
5) Per individuare il verso del prodotto vettoriale si ricorre alla regola della mano destra: si dispone il pollice nella direzione e nel verso del primo vettore, e l'indice nella direzione e nel verso del secondo vettore. Distendendo il dito medio, si hanno la direzione e il verso cui punta il prodotto .
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Come calcolare prodotto vettoriale |
dati v=[v1, v2, v3] e w=[w1, w2, w3]
chiamiamo (i, j, k) i tre versori degli assi coordinati, Vale la formula:
v X w = (v2·w3 – v3·w2) · i + (v3·w1 – v1·w3) · j + (v1·w2 – v2·w1) · k |
Prodotto scalare tra due vettori |
v · w = (v1 · w1) + (v2 · w2) + (v3 · w3) |
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Vettori
Indipendenza lineare |
Se DET = 0 allora sono Linearmente Dipendenti
Se DET ≠ 0 allora sono Linearmente Indipendenti |
Ortogonalità |
Due vettori sono ortogonali se il loro prodotto scalare fa 0 |
Appunti su esercizi esame
Dire se i vettori v1, v2, v3 ,v4 generano R3 o Determinare un insieme massimale |
dobbiamo mettere i vettori in una matrice 3x4 disponendoli per colonna, calcolare la riduzione di gauss e vedere quanti pivot non nulli ci sono, se sono >= di R3 allora ok se < allora i vettori non posso generare R3. |
Estrarre base |
bisogna mettere 3 vettori tra quelli disponibili dentro una matrice 3x3 e calcolare il determinate, se = 0 allora sono lin. Dipendenti e non vanno bene come base, se il determinate ≠ 0 allora sono lin. Indipendenti e generano una base di R3. |
Completare una base di R3 |
bisogna aggiungere un vettore che faccia rimanere lin. Indipendente il sistema.
Quindi facciamo il prodotto righe per colonne tra la matrice con i due vettori e il vettore colonna (x, y ,z), poniamo tutto a sistema e lo risolviamo sostituendo il parametro libero t e alla fine scriviamo la soluzione come il prodotto tra il vettore che abbiamo trovato e il parametro libero t, Es. (x, y, z) = (0, 0, 1) · t |
Matrici
Per determinare le soluzioni del sistema Ak X = B già ridotto nel primo es. |
Moltiplicare la matrice ridotta per B trovando così il vettore colonna con i risultati.
Per verificare moltiplichiamo la matrice A di partenza non ridotta per i risultati e deve venire come risultato il vettore colonna B. |
Per determinare le soluzioni del sistema Ak X = B con mat da ridurre. |
Ridurre la matrice (Ak |B) con k sostituito, mettere la matrice a sistema e risolvere per trovare le soluzioni.
Se c’è una riga nulla allora è =t parametro libero e ci sono ∞^1 soluzioni, per verificare moltiplico (Ak) non ridotta per i risultati (X) e devo ottenere (B).
Se la matrice è (2x3) e devo moltiplicarla per un vettore colonna con 2 elementi allora la colonna in più Z è parametro libero. |
Per Determinare quante sono le soluzioni del sist. Ak X = B al var di k. |
Calcolo il Det di (Ak) e riduco la matrice con il valore (o valori) del determinante.
Se c’è una riga discordante per es. (000|6) dato che 0 ≠ 6 allora per per quel k non ci sono soluzioni.
Se c’è una riga nulla allora ∞^1 soluzioni per quel k.
Quindi per k ∈ R \ { (k che non ha soluzioni) } il sist. Ha unica soluzione. |
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