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Résumé du cours de maths 1B partie base d'algèbre.
Les intervalles
XƐ[a,b] |
a <= x <= b |
intervalle fermé |
XƐ]a,b[ |
a < x < b |
intervalle ouvert |
XƐ[a,b[ |
a <= x < b |
intervalle ouvert à droite |
Addition d'inégalités
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-5 < 6 | + 2 -3 < 8
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Le signe de l'inégalité n'est pas changé.
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Multiplication d'inégalités
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-5 < 6 | * 2 10 > -12
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Si on multiplie par un nombre négatif on inverse le sens de l'inégalite
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Mise au carré d'inégalités
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-5 < 6 | ^2 25 < 36
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-6 < 5 | ^2 36 > 25
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Il y a inversion de signe si l'inégalité de départ est fausse en valeur absolue.
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Racine carré d'inéquation
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36 > 25 | √ 6 > 5
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Le signe de l'inégalité n'est pas changé. On prend seulement les nombres positifs.
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Inverse de l'inéquation
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5 < 6 | 1/ 1/5 > 1/6
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-5 < 6 | 1/ -1/5 < 1/6
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Le signe de l'inégalité est changé quand les 2 membres sont de mêmes signes.
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valeurs_absolues
| a + b | |
si a + b > 0 |
a + b |
| a + b | |
si a + b = 0 |
0 |
| a + b | |
si a + b < 0 |
- (a + b) -> -a -b |
Identités remarquables
(a - b)2 |
a2 - 2ab + b2 |
(a - b)2 |
a3 -3a2b + 3ab2 - b3 |
a2-b2 |
(a + b) (a - b) |
a3 - b3 |
(a - b) (a2 + ab + b2) |
Pour n impair : |
an + bn |
(a + b) (...) |
an + bn |
(a - b) (...) |
Pour n pair : |
an + bn |
Ne peut être factorisé |
an - bn |
(a + b) (a - b) (...) |
(...) |
S'obtient par division polynomiale |
Factorisation
Mise en évidence : |
a2 + 2a |
a(2 + a) |
Reconnaissance d'identité remarquable : |
x2 - 9 |
(x + 3) (x - 3) |
Regroupement : |
aX2 + bX + c |
a( X2 + bX/a + c/a) |
a( X2 + 2bX/2a + c/a) |
a ((X + b/2a)2-b2/4a2+c/a) |
a((X+ b/2a)2 - (b2+4ac)/4a |
x1 = (-b + √b2 - 4ac )/ 2a |
x2 = (-b - √b2 - 4ac )/ 2a |
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Fonctions quadratiques :
f1(x) = x2 |
Donne une fonction de type U |
f2(x) = (x - q)2 |
Donne une fonction de type U avec un décalage q (en x) |
f3(x) = p(x-q)2 |
Plus p est grand plus la fonction est serré Si p est négatif la fonction part contre le bas. |
f4(x) = p (x-q)2 + r |
Ajouter r décale la fonciton verticalement (axe y) |
y = a ( x - b)2+ o |
Le point S est (b; o) |
S est un maximum si a < 0 |
S est un minimum si a > 0 |
Fonctions quadratiques (les racines)
Les racines sont les intersections de la fonction avec l'axe x |
x1 = 0 & x2 = 0 |
p(x-q)2 + r = 0 |
x-q = +ou- √-r/p |
x1 = √(-r/p) + q |
x2 = -√(-r/p) + q |
Forme Polynomiale en canonique
Pour trouver une racine il faut la forme canonique: |
f(x) = ax2 + bx + c |
a[x2+2(b/2a)*x+(b/2a)2-(b/2a)2+c/a] |
a(x + b/2a)2 - (b2 - 4ac)/4a |
On veut p(x - q)2 + r |
r = - (b2-4ac)/4a |
q = -b/2a |
p = a |
On a donc : a (x - (-b/2a))2 + ((b2-4ac)/4a) |
Factorisation de fonction
p(x) = a(X - X1) (X - X2) |
a(X2-X X1 - X X2 + X1 * X2) |
aX2 - a(X1 + X2) X + a X1 X2 |
On retrouve une équation du second degré. |
X1 et X2 sont les racines du polynôme : |
P(X1) = a( X1 - X1) ( X1 - X2) = 0 |
On sait que X1 - X1 = 0 |
P(X2) = a( X2 - X1) ( X2 - X2) = 0 |
On sait que X2 - X2 = 0 |
Il est facile et toujours possible de passer de la forme factorisé à la forme polynômiale. |
S'il n'y a pas de racines réeles (intersection avec l'axe x) on ne pourra pas mettre le polynôme sous forme factorisé c'est donc un pôlynome irréductible! |
Factorisation de fonction degré n
Pour passer de la forme factorisée à la forme pôlynomiale on procède comme une fonction de degré 2 |
Pour l'opération inverse il faut utiliser le Théorème Fondamental de l'algébre. |
Tout polynôme Pn(x) de degré n peut s'écrire comme le produit de k polynômes du premier degré et m polynômes irréductibles du seconde degré. |
k correspond au nombre de racines réelles de Pn(x) |
n = k + 2m |
m = (n - k)/2 |
Décomposition en fractions simples
f(x) = N(x) / D(x) |
Si le degré du numérateur est supérieur ou égal au degré du dénominateur on effectue une division polynômiale et on pourra factoriser le reste. |
E1. Si nécessaire effectuer la division euclidienne et prendre uniquement le reste pour les prochaines étapes : |
E2. Factoriser Dn(x) en produit soit de facteur linéaires (px + q)n soit/et en facteurs quadratiques irréductibles (ax2 + bx + c)m |
E3. Pour chaque facteur (px + q)n écrire la somme de fractions : A1/(px+q) + A2/(px+q)2 + An/(px+q)n |
E4. Pour chaque facteur (ax2 +bx +c)m écrire la somme de fractions simples : ((B1*x + c1)/(ax2+bx+c)) + ((B2x + c2)/(ax2+bx+c)2)+((Bmx + cm)/(ax2+bx+c)m) |
E5. Calculer les constantes Ai, Bi, Cien posant que la fraction rationnelle Nk(x) / Dn(x) doit être IDENTIQUE à sa décomposition en fractions simples. |
La décomposition en fractions simples concerne les fonctions rationelles irréductibles.
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